Los poliedros arquimedianos son figuras que tienen todas las caras regulares y todos los vértices iguales. La denominación se debe a Arquímedes, que fue el que los estudió por primera vez en un tratado extraviado. Según trata el geometra Papus, Arquímedes describió estos poliedros indicando los vértices que hay en cada vértice y el número de lados de estos polígonos. Otra denominación de los mismos es semirregulares porque tienen sus caras regulares y también los vértices, pero no tienen caras iguales porque tienen más de un tipo de polígonos.
Fueron estudiados durante el Renacimiento por Alberto Durero y Luca Paccioli, también hay modelos basados en bocetos de Leonardo da Vinci aunque el que le dio los nombres que tienen fue Johannes Kepler y demostró que hay trece poliedros semirregulares, además de los que llamamos prismas y antiprismas de caras regulares.
Se puede considerar un nuevo poliedro arquimediano el estudiado por Somerville, en el que uno de los casquetes del pequeño rombicubooctaedro se gira a cuarenta y cinco grados perdiendo cierta regularidad, éste también es un poliedro arquimediano porque tiene sus caras regulares y en todos los vértices concurren siempre tres cuadrados y un triángulo al igual que en el pequeño rombicubotaedro, del que se obtiene haciendo el giro.
Una definición más estricta de estos poliedros son aquellos que poseyendo caras regulares de más de una clase, todos sus vértices se pueden transformar en otros mediante un grupo de rotación. Los poliedros arquimedianos se utilizan con frecuencia para adornos de farolas, de cajas o de perfumes; p. ej., el icosaedro truncado se utilizó hasta hace poco como la estructura del balón de fútbol, reemplazado hoy por el rombicosidodecaedro.
Una forma de obtener estos poliedros arquimedianos es mediante el truncamiento de los poliedros regulares, podemos hacerlo por un corte de tipo 1 o un corte de tipo 2. En el corte de tipo 1 pasa el plano por la mitad de las aristas, de esta manera por ejemplo mediante un corte del cubo por planos que seccionan sus esquinas y que pasan por las mitades de los vértices obtenemos el cuboctaedro. Este poliedro también se obtiene como la intersección de un octaedro y un cubo. Tenemos también el corte de tipo 2 de manera que cada arista es dividida en tres partes formando sobre la cara del poliedro regular un polígono del doble de número de lados que tiene la cara del poliedro regular. Por ejemplo, cuando cogemos el cubo que tiene caras cuadradas de cuatro lados, si lo multiplicamos por 2 tenemos 8 aristas, para cada cara del cubo obtenemos un octógono regular, con estos cortes en las esquinas obtenemos el cubo truncado de 6 caras octogonales y 8 triángulos equiláteros.
Haciendo el corte de tipo 1 o el corte de tipo 2 obtenemos distintos poliedros arquimedianos: en el corte de tipo 1 los planos pasan por los puntos medios de las aristas que concurren en un mismo vértice mientras que por el de tipo 2 el corte se realiza a una distancia de manera que el polígono regular que define en dos cortes tendrá siempre un número doble de lados que el polígono del que partimos para construir el arquimediano.
El poliedro que se obtiene mediante truncamiento también se puede obtener a partir de caras que provienen de caras o bien que provienen de vértices. Cuando cortamos con el tipo 1 las nuevas caras que se forman centradas en la cara del poliedro regular siempre tienen el mismo número de lados que los polígonos del poliedro del que partimos mientras que en el de tipo 2 tendrán un número doble de lados.
Los cortes a los poliedros arquimedianos se hacen perpendiculares a los ejes de rotación y se hacen a la misma distancia de los vértices por tanto los poliedros obtenidos a partir de cada poliedro regular y su dual tendrán iguales simetrías, coincidentes con estos.
Los vértices de los poliedros obtenidos por truncamiento equidistan del centro del poliedro pues en los regulares también dista lo mismo, ello quiere decir que los poliedros obtenidos por truncamiento de los regulares, tendrán una esfera exterior o circunscrita y sin embargo no tendrán una inscrita. También podemos decir que los centros de las caras siempre son iguales en distancias hasta el centro del poliedro, lo mismo aquellos de los regulares de los que provienen, pero las distancias no tienen por qué ser iguales.
En cuanto a los ángulos diedros o ángulos que forman cada par de caras adyacentes tenemos que mediante el corte de tipo 1 tienen todos los ángulos diedros iguales, mientras que con el truncamiento de tipo 2 tenemos dos clases de ángulos diedros, el que forman las caras que provienen de caras y el ángulo que forman las caras que provienen de un vértice y de una cara.
El ángulo que forman dos caras que provienen de caras siempre coincide con el ángulo original del diedro que corresponde al poliedro del que se parte. El ángulo que forman las caras que vienen de un vértice y de una cara es siempre el mismo en los dos tipos de truncamiento ya que los cortes se hacen por planos paralelos entre sí.
Cuando cortamos el tetraedro por un corte de tipo 1 se obtiene el octaedro mientras que si se corta el cubo o el octaedro se obtendrá indistintamente el cubo u octaedro, mientras que al cortar el dodecaedro o el icosaedro se obtiene el icosidodecaedro. De esta manera podemos deducir que al cortar 2 poliedros duales por el corte de tipo 1 se obtiene el mismo poliedro arquimediano.
Cuando cortamos poliedros regulares con el corte de tipo 2 tenemos que al cortar un vértice del tetraedro, cubo y dodecaedro como en ellos concurren tres caras, el resultado de ese corte será un triángulo. En el caso del octaedro será un cuadrado y en el icosaedro será un pentágono.
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Dodecaedro truncado
En la parte superior
tenemos la planta y alzado por orden de izquierda a derecha las siguientes
figuras:
En primer lugar a la
izquierda de todo, el icosaedro truncado en color magenta en planta y
alzado y que se obtiene a partir de cortar las esquinas al poliedro
verde icosaedro que tiene al lado. El corte es de tipo 2 de manera
que en cada una de las caras triangulares del icosaedro aparece centrado un
hexágono regular y en cada uno de los vértices aparece una pirámide cuya
base es el pentágono regular, pentágono que queda como vemos en el icosaedro
truncado, de color magenta centrado respecto a los seis hexágonos regulares que
los rodean. Es el balón de fútbol utilizado hasta hace poco pero se reemplazó
por el rombicosidodecaedro ya que es mucho más esférico.
A continuación tenemos
en planta y alzado en color verde en la parte superior el icosaedro regular,
poliedro regular (que tiene todas las caras - 20- que son triángulos
equiláteros), también se puede considerar un antiprisma pentagonal que
tiene en las dos bases dos pirámides.
El siguiente poliedro que tiene tres colores, está construido a partir del primero descrito, (icosaedro truncado de color magenta), al que se le ha aplicado un corte de tipo 1, es decir hemos cortado las esquinas por planos de manera que cada plano corta a tres aristas adyacentes en los puntos medios, al quitar todas las pirámides de base triangular que aparece en cada uno de los centros salen tres tipos de polígonos: pentágonos y hexágonos regulares y triángulos irregulares, casi equiláteros.
Como vemos es un nuevo tipo de poliedro que aparentemente y a la vista, cumple con los elementos que se exigen para un poliedro arquimediano, por lo que parece un poliedro semirregular, esto es, que está formado por polígonos "regulares" y en todos sus vértices existe la misma uniformidad, por ejemplo cuando tenemos un vértice por el que pasan los tres polígonos, los ángulos que forman entre sí los mismos son idénticos para cualquier conjunto de tres polígonos que cojamos del poliedro. Pero una vista atenta demuestra que tiene polígonos irregulares.
Por último tenemos a la
derecha en planta y alzado la intersección del dodecaedro e icosaedro que
genera un icosidodecaedro, sería lo mismo que coger cualquiera de los dos
poliedros objeto de la intersección y cortarlos por un corte de tipo 1, de esta
manera para ambos casos siempre obtenemos el icosidodecaedro.
En la parte
inferior del dibujo y encuadrados en un rectángulo están los mismos poliedros
pero en una perspectiva axonométrica isométrica, ésta perspectiva es una
proyección ortogonal que facilita que en el centro del poliedro aparezcan sus
caras en verdadera forma.
